Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，點(diǎn)E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求∠ABC的度數(shù)；
（2）求證：AE是⊙O的切線；
（3）當(dāng)BC=4時(shí)，求劣弧AC的長．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線的判定定理的證明,圓的切線的性質(zhì)定理的證明

專題：計(jì)算題,證明題,直線與圓

分析：（1）根據(jù)∠ABC與∠D都是劣弧AC所對(duì)的圓周角，利用圓周角定理可證出∠ABC=∠D=60°； 
（2）根據(jù)AB是⊙O的直徑，利用直徑所對(duì)的圓周角是直角得到∠ACB=90°，結(jié)合∠ABC=60°求得∠BAC=30°，從而推出∠BAE=90°，即OA⊥AE，可得AE是⊙O的切線；
（3）連結(jié)OC，證出△OBC是等邊三角形，算出∠BOC=60°且⊙O的半徑等于4，可得劣弧AC所對(duì)的圓心角∠AOC=120°，再由弧長公式加以計(jì)算，可得劣弧AC的長．

解答： 解：（1）∵∠ABC與∠D都是劣弧AC所對(duì)的圓周角，∠D=60°，
∴∠ABC=∠D=60°； 
（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．
可得∠BAC=90°-∠ABC=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，
即BA⊥AE，得OA⊥AE，
又∵OA是⊙O的半徑，∴AE是⊙O的切線；
（3）如圖，連接OC，
∵∠ABC=60°，OB=OC，
∴△BOC是等邊三角形，得∠BOC=60°，⊙O的半徑R=OB=AB=4，
由此得到∠AOC=180°-∠BOC=120°，
因此，劣弧AC的長等于

120πR

180

=

120π•4

180

=

8π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了切線的判定、圓周角定理以及弧長公式等知識(shí)，屬于中檔題．解題過程中，請(qǐng)注意注意輔助線的作法與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．