Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AC=AA1=

3

，BC=2，點M是A₁B的中點，點N是B₁C的中點，連接MN．
（1）證明：MN⊥平面ABB₁A₁；
（2）若點P是CC₁的中點，求四面體B₁-APB的體積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由題可得AA₁⊥A₁C₁且A₁B₁⊥A₁C₁，又因為AA₁∩A₁B₁=A，所以A₁C₁⊥平面ABB₁A₁，繼而得到MN⊥平面ABB₁A₁；
（2）由于VB1-APB=VP-ABB1，所以先求△ABB₁的面積，由（1）知A₁C₁⊥平面ABB₁A₁，三棱錐的高是A₁C₁，所以根據(jù)三棱錐的體積公式可得體積．

解答： 解：（1）證明：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
AA₁⊥底面A₁B₁C₁，A₁C₁?平面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥A₁C₁．
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
AB=1，AC=

3

，BC=2，
∴A₁B₁⊥A₁C₁，
又∵AA₁∩A₁B₁=A，
∴A₁C₁⊥平面ABB₁A₁，
又∵點M是A₁B的中點，點N是B₁C的中點，
∴MN∥A₁C₁，
∴MN⊥平面ABB₁A₁；
（2）由（1）知，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C₁⊥平面ABB₁A₁，
∴三棱錐P-ABB₁的高是A₁C₁，
∴三棱錐P-ABB₁的體積為：

1

3

×S△ABB1×A1C1
=

1

3

×

1

2

×AB×AA1×A1C1=

1

3

×

1

2

×1×

3

×

3

=

1

2

又∵VB1-APB=VP-ABB1，
∴四面體B₁-APB的體積為

1

2

．

點評：證明線面垂直關(guān)鍵是證明已知直線與面內(nèi)的兩條相交直線都垂直即可，求三棱錐的體積時若不易求出一般是先觀察一下是否換一個底面積與高都容易求的定點．