Question

對任意實數(shù)x和任意θ∈[0，

π

2

]，恒有(x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2≥

1

8

，則實數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：原不等式等價于（3+2sinθcosθ-asinθ-acosθ）²≥

1

4

，θ∈[0，

π

2

]，從而可得a≥

3+2sinθcosθ+ 1 2

sinθ+cosθ

，或a≤

3+2sinθcosθ- 1 2

sinθ+cosθ

，于是問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題加以解決，對上述分式進行合理變形，利用函數(shù)單調(diào)性、基本不等式即可求得最值．

解答： 解：原不等式等價于（3+2sinθcosθ-asinθ-acosθ）²≥

1

4

，θ∈[0，

π

2

]①，
由①得a≥

3+2sinθcosθ+ 1 2

sinθ+cosθ

②，或a≤

3+2sinθcosθ- 1 2

sinθ+cosθ

③，
在②中，1≤sinθ+cosθ≤

2

，

3+2sinθcosθ+ 1 2

sinθ+cosθ

=（sinθ+cosθ）+

5

2(sinθ+cosθ)

，
顯然當(dāng)1≤x≤

2

時，f（x）=x+

5

2x

為減函數(shù)，從而上式最大值為f（1）=1+

5

2

=

7

2

，
由此可得a≥

7

2

；
在③中，

3+2sinθcosθ- 1 2

sinθ+cosθ

=（sinθ+cosθ）+

3

2(sinθ+cosθ)

≥2

3 2

=

6

，
當(dāng)且僅當(dāng)sinθ+cosθ=

6

2

時取等號，
所以

3+2sinθcosθ- 1 2

sinθ+cosθ

的最小值為

6

，
由此可得a≤

6

，
綜上，a≤

6

或a≥

7

2

．
故答案為：a≤

6

或a≥

7

2

．

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題是解決該類題目的常用方法，解決本題的關(guān)鍵是先對不等式進行等價變形去掉x，變?yōu)殛P(guān)于θ的恒等式處理．