Question

如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ADEF是正方形，F(xiàn)A⊥面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=2

2

，∠BAD=∠CDA=45°．
（1）求證：CD⊥面ABF；
（2）試在棱DE上找一點(diǎn)P使得二面角B-AP-D的正切值為

5

，并證明之．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）過點(diǎn)B作BG∥CD，交AD于點(diǎn)G，可證CD⊥AB，CD⊥FA，利用線面垂直的判定定理，可得CD⊥平面ABF；
（2）過點(diǎn)B作BH⊥AD，垂足為H過點(diǎn)H作HO⊥AP，垂足為O，連結(jié)BO，可證得∠BOH即為二面角B-AP-D的平面角，設(shè)PD=t，由二面角B-AP-D的正切值為

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，構(gòu)造關(guān)于t的方程，解方程可得答案．

解答： 證明：（1）過點(diǎn)B作BG∥CD，交AD于點(diǎn)G，則∠BGA=∠CDA=45°，

由∠BAD=45°，可得BG⊥AB，從而CD⊥AB，
又FA⊥平面ABCD，
∴CD⊥FA，
∵FA∩AB=A，
∴CD⊥平面ABF．…（6分）
（2）過點(diǎn)B作BH⊥AD，垂足為H過點(diǎn)H作HO⊥AP，垂足為O，連結(jié)BO

∵FA⊥面ABCD，F(xiàn)A?平面FADE，
∴平面FADE⊥面ABCD，
又∵BH⊥AD，平面FADE∩面ABCD=AD，BH?面ABCD=AD，
∴BH⊥平面FADE，
又∵AP?平面FADE，
∴BH⊥AP，
又∵HO⊥AP，BH∩HO=H，BH，HO?平面OBH，
∴AP⊥平面OBH，
又∵OB?平面OBH，
∴AP⊥OB，
∴∠BOH即為二面角B-AP-D的平面角，…（10分）
求得BH=AH=

2

2

，即點(diǎn)H為AD的四等分點(diǎn)
設(shè)PD=t（0＜t＜2

2

），易求得OH=

2 t

2 8+t2

∴tan∠BOH=

BH

GH

=

8 t2 +1

=

5

解得t=

2

，
即當(dāng)點(diǎn)P為DE的中點(diǎn)時(shí)，二面角B-AP-D的正切值為

5

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查面面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．