Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

2

，a_n-1+1=2a_n（n≥2，n∈N）．
（1）證明數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，并求a_n；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足：2b₁+2²b₂+…2ⁿb_n=n•2ⁿ，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）令c_n=-2a_n•b_n+（n+1）（n∈N^*），求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出

an-1

an-1-1

=

1

2

，n≥2，所以{a_n-1}是等比數(shù)列，公比是

1

2

，由此能求出an=1-(

1

2

)n．
（2）由已知條件推導(dǎo)出2nbn=(n+1)•2n-1，n≥2，由此能求出bn=

n+1

2

．
（3）c_n=-2a_n•b_n+（n+1）=(n+1)•[(

1

2

)n-1]+(n+1)=(n+1)•(

1

2

)n，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： （1）證明：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

2

，a_n-1+1=2a_n（n≥2，n∈N），
∴2（a_n-1）=a_n-1-1，n≥2，

an-1

an-1-1

=

1

2

，n≥2，
∴{a_n-1}是等比數(shù)列，公比是

1

2

，（2分）
又∵{a_n-1}是等比數(shù)列，公比是

1

2

，
a1-1=

1

2

，
∴an-1=-

1

2

×(

1

2

)n-1，∴an=1-(

1

2

)n．（4分）
（2）解：∵數(shù)列{b_n}滿足：2b₁+2²b₂+…2ⁿb_n=n•2ⁿ，①
∴2b₁+2²b₂+…2^n-1b_n-1=（n-1）•2^n-1，n≥2，②（5分）
①-②，得2nbn=(n+1)•2n-1，n≥2，
∴bn=

n+1

2

，n≥2，（7分）
又當(dāng)n=1時(shí)，2b₁=2，b₁=1也滿足上式，
∴bn=

n+1

2

．（8分）
（3）解：∵an=1-(

1

2

)n，bn=

n+1

2

，
∴c_n=-2a_n•b_n+（n+1）=(n+1)•[(

1

2

)n-1]+(n+1)=(n+1)•(

1

2

)n，（9分）Tn=2×(

1

2

)1+3×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3+…+(n+1)•(

1

2

)n③

1

2

Tn=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n+(n+1)•(

1

2

)n+1④
③-④得：

1

2

Tn=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-(n+1)•(

1

2

)n+1，（12分）

1

2

Tn=

1 2 ×[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-(n+1)•(

1

2

)n+1，（13分）
即

1

2

Tn=1-(

1

2

)n-(n+1)•(

1

2

)n+1，
∴Tn=2-(n+3)•(

1

2

)n．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．