Question

如圖，正四面體ABCD中，E為AD中點(diǎn)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，
（1）求異面直線AB與CE所成角的大��；
（2）求異面直線AF與CE所成角的大�。�
（3）求直線CE與平面BCD所成角的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)AB=6．則C（3，

3

，0），B（0，-2

3

，0），D（-3，

3

，0），A（0，0，2

6

），E(-

3

2

，

3

2

，

6

)，F(xiàn)(

3

2

，-

3

2

，0)．分別利用向量的夾角cos＜

AB

，

CE

＞=

AB • CE

| AB | | CE |

，cos＜

AF

，

CE

＞=

AF • CE

| AF | | CE |

即可得出異面直線所成的夾角．取平面BCD的法向量為

n

=（0，0，1）．
設(shè)直線CE與平面BCD所成角的大小為θ．利用sinθ=|cos＜

n

，

CE

＞|=

| n • CE |

| n | | CE |

即可得出線面角．

解答： 解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．
不妨設(shè)AB=6．則C（3，

3

，0），B（0，-2

3

，0），D（-3，

3

，0），A（0，0，2

6

），E(-

3

2

，

3

2

，

6

)，F(xiàn)(

3

2

，-

3

2

，0)．（1）∵

AB

=(0，-2

3

，-2

6

)，

CE

=(-

9

2

，-

3

2

，

6

)．
∴cos＜

AB

，

CE

＞=

AB • CE

| AB | | CE |

=

-9

6× 27

=-

3

6

．
∴異面直線AB與CE所成角為arccos

3

6

；
（2）

AF

=(

3

2

，-

3

2

，-2

6

)．
∴cos＜

AF

，

CE

＞=

AF • CE

| AF | | CE |

=

-18

27 × 27

=-

2

3

．
∴異面直線AF與CE所成角為arccos

2

3

．
（3）取平面BCD的法向量為

n

=（0，0，1）．
設(shè)直線CE與平面BCD所成角的大小為θ．
則sinθ=|cos＜

n

，

CE

＞|=

| n • CE |

| n | | CE |

=

6

1× 27

=

2

3

．
∴直線CE與平面BCD所成角的大小為arcsin

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了通過建立空間直角坐標(biāo)系利用向量的夾角公式求出異面直線所成的夾角、線面角，考查了推理能力和計(jì)算能力，考查了空間想象能力，屬于難題．