Question

10．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且5S₁，2S₂，S₃成等差數(shù)列．
（1）求{a_n}的公比q；
（2）當(dāng)a₁-a₃=3時(shí)，證明：數(shù)列{S_n-1}也是等比數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）由5S₁，2S₂，S₃成等差數(shù)列，可得4S₂=S₃+5S₁，化為q²-3q+2=0，解得q．
（2）當(dāng)a₁-a₃=3時(shí)，q≠1，可得：a₁（1-2²）=3，解得a₁．求出S_n，證明當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{{S}_{n}-1}{{S}_{n-1}-1}$=常數(shù)（非0）即可．

解答 （1）解：∵5S₁，2S₂，S₃成等差數(shù)列，
∴4S₂=S₃+5S₁，化為4a₁（q+1）=${a}_{1}（1+q+{q}^{2}+5）$，
∴q²-3q+2=0，解得q=1或2．
（2）證明：當(dāng)a₁-a₃=3時(shí)，q≠1，可得：a₁（1-2²）=3，解得a₁=-1．
∴S_n=$\frac{-1（{2}^{n}-1）}{2-1}$=1-2ⁿ，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{{S}_{n}-1}{{S}_{n-1}-1}$=$\frac{-{2}^{n}}{-{2}^{n-1}}$=2，
∴數(shù)列{S_n-1}也是等比數(shù)列，首項(xiàng)為-2，公比為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．