Question

12．判斷下列函數的奇偶性：
（1）f（x）=x³+$\frac{1}{x}$；
（2）f（x）=x²+x；
（3）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2，x＞0}\\{0，x=0}\\{-{x}^{2}-2，x＜0}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 利用奇偶函數的定義分別進行判斷．

解答 解：（1）因為f（x）的定義域關于原點對稱，又f（x）=（-x）³+$\frac{1}{-x}$=-（x³+$\frac{1}{x}$）=-f（x），所以f（x）為奇函數；
（2）f（x）=x²+x定義域為R，f（-x）=（-x）²+（-x）=x²-x≠f（x），x²-x≠-f（x）；所以f（x）是非奇非偶的函數；
（3）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2，x＞0}\\{0，x=0}\\{-{x}^{2}-2，x＜0}\end{array}\right.$定義域為R；x＞0，-x＜0，f（-x）=-（-x）²-2=-x²-2=-（x²+2）=-f（x）；
x＜0，則-x＞0，f（-x）=（-x）²+2=x²+2=-（-x²-2）=-f（x）；x=0，f（-x）=0=-f（x）；
所以f（x）是奇函數．

點評 本題考查了函數奇偶性的判定；在定義域關于原點對稱的前提下，利用定義判斷f（-x）與f（x）的關系．