Question

4．S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若S_n=3ⁿ-1，則a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=$\frac{1}{2}（{9^n}-1）$．

Answer 1

分析 利用遞推關(guān)系可得a_n，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：∵${S_n}={3^n}-1$，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（3ⁿ-1）-（3^n-1-1）=2×3^n-1．
當(dāng)n=1時(shí)上式也成立，
∴a_n=2×3^n-1．
∴${a}_{n}^{2}$=4×3^2n-2=4×9^n-1．
∴數(shù)列{${a}_{n}^{2}$}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為9．
∴${a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2+…+{a_n}^2$=$\frac{4（{9}^{n}-1）}{9-1}$=$\frac{1}{2}（{9^n}-1）$；
故答案為：$\frac{1}{2}（{9}^{n}-1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．