Question

3．用向量法證明：連接三角形兩邊中點的線段平行于第三邊且等于第三邊的一半．

Answer 1

分析 可先作出圖形△ABC，并設(shè)D，E分別為邊AB，AC的中點，容易得到$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，從而便有DE∥BC，且$DE=\frac{1}{2}BC$，這樣便得到結(jié)論：連接三角形兩邊中點的線段平行于第三邊且等于第三邊的一半．

解答 證明：如圖，△ABC，D，E分別是AB，AC邊的中點；
$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$；
∴$\overrightarrow{DE}$∥$\overrightarrow{BC}$，且$|\overrightarrow{DE}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{BC}|$；
即DE∥BC，且DE=$\frac{1}{2}BC$；
∴連接三角形兩邊中點的線段平行于第三邊且等于第三邊的一半．

點評 考查向量法證明三角形中位線的性質(zhì)，向量減法的幾何意義，向量數(shù)乘的幾何意義，以及向量的數(shù)乘運(yùn)算．