Question

4．已知函數(shù)y=x+$\frac{a}{x}$，（a＞0），
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）求證：f（x）在區(qū)間$（{-∞，-\sqrt{a}}）$上是增函數(shù)；
（3）若a=4時，求該函數(shù)在區(qū)間[1，5]上的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f（x）在區(qū)間$（{-∞，-\sqrt{a}}）$上是增函數(shù)；
（3）若a=4時，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可求該函數(shù)在區(qū)間[1，5]上的值域．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），
則f（-x）=-x-$\frac{a}{x}$=-（x+$\frac{a}{x}$）=-f（x），
則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）證明：設(shè)x₁＜x₂＜-$\sqrt{a}$，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{a}{{x}_{1}}$-x₂-$\frac{a}{{x}_{2}}$=（x₁-x₂）+$\frac{a（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-a}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x₁＜x₂＜-$\sqrt{a}$，
∴x₁-x₂＜0，
x₁x₂＞-$\sqrt{a}$（-$\sqrt{a}$）=a＞0，
即x₁x₂-a＞0，
則f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
即f（x）在區(qū)間$（{-∞，-\sqrt{a}}）$上是增函數(shù)；
（3）若a=4時，則f（x）=x+$\frac{4}{x}$，
則函數(shù)f（x）在[1，2]上為減函數(shù)，則[2，5]上為增函數(shù)，
則函數(shù)的最小值為f（2）=2+$\frac{4}{2}$=2+2=4，
∵f（1）=1+4=5，f（5）=5+$\frac{4}{5}$=$\frac{29}{5}$，
∴最大值為f（5）=$\frac{29}{5}$，
則函數(shù)在區(qū)間[1，5]上的值域?yàn)閇4，$\frac{29}{5}$]．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)奇偶性，單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．