Question

已知函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=ax²（a∈R，a≠0）．
（1）求函數(shù)y=

g(x)

f(x)

的單調(diào)區(qū)間；
（2）①已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）為函數(shù)y=g（x）圖象上的兩點(diǎn)，y=g′（x）為y=g（x）的導(dǎo)函數(shù)，若g′（x₀）=

y1-y2

x1-x2

，求證：x₀∈（x₁，x₂）；
②類比函數(shù)y=g（x），①中的結(jié)論在函數(shù)y=f（x）中是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)函數(shù)的運(yùn)算法則，求導(dǎo)，判斷單調(diào)性．
（2）①先求出g′（x），然后代入問(wèn)題得以證明，②利用類比的思想，先求出f′(x0)=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

，再令F(x)=ex(x-x2)-ex+ex2，(x＜x2)，求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，問(wèn)題得以解決．

解答： 解：（1）由題意得，y′=(

ax2

ex

)′=

ax(2-x)

ex

，(a≠0)，
若a＞0，則當(dāng)x＜0或x＞2時(shí)，y'＜0；當(dāng)0≤x≤2時(shí)，y'≥0；
所以a＞0時(shí)，函數(shù)y=

g(x)

f(x)

的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0）和（2，+∞），
單調(diào)遞增區(qū)間為[0，2]；                             
同理得a＜0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[0，2]，
單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0）和（2，+∞）．
（2）①證明：在函數(shù)g（x）=ax²（a≠0）中，g′(x0)=2ax0=

g(x1)-g(x2)

x1-x2

=

ax12-ax22

x1-x2

=a(x1+x2)⇒x0=

x1+x2

2

∈(x1，x2)，結(jié)論成立．
②對(duì)于函數(shù)y=f（x），①中的結(jié)論也成立．下面給出證明：
在函數(shù)f（x）=e^x中，f′(x0)=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

，則有 ex0=

y1-y2

x1-x2

=

ex1-ex2

x1-x2

．
又 x1＜x0＜x2?ex1＜ex0＜ex2?ex1＜

ex1-ex2

x1-x2

＜ex2．
令F(x)=ex(x-x2)-ex+ex2，(x＜x2)
則 F′(x)=(x-x2)ex2＜0
∴F（x）在（-∞，x₂）上遞減，則F（x₁）＞F（x₂）
∴ex1(x1-x2)＞ex1-ex2，即ex1＜

ex1-ex2

x1-x2

．
同理可證 

ex1-ex2

x1-x2

＜ex2，綜上，x₀∈（x₁，x₂）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，利用了轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)了運(yùn)算能力．