Question

為喜迎馬年新春佳節(jié)，某商場(chǎng)在進(jìn)行抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，當(dāng)日在該店消費(fèi)滿500元的顧客可參加抽獎(jiǎng)．抽獎(jiǎng)箱中有大小完全相同的4個(gè)小球，分別標(biāo)有字“馬”“上”“有”“錢”．顧客從中任意取出1個(gè)球，記下上面的字后放回箱中，再?gòu)闹腥稳?個(gè)球，重復(fù)以上操作，最多取4次，并規(guī)定若取出“錢”字球，則停止取球．獲獎(jiǎng)規(guī)則如下：依次取到標(biāo)有“馬”“上”“有”“錢”字的球?yàn)橐坏泉?jiǎng)；不分順序取到標(biāo)有“馬”“上”“有”“錢”字的球，為二等獎(jiǎng)；取到的4個(gè)球中有標(biāo)有“馬”“上”“有”三個(gè)字的球?yàn)槿�等�?jiǎng)．
（Ⅰ）求分別獲得一、二、三等獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）設(shè)摸球次數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)依次取到標(biāo)有“馬”“上”“有”“錢”字的球?yàn)橐坏泉?jiǎng)；不分順序取到標(biāo)有“馬”“上”“有”“錢”字的球，為二等獎(jiǎng)；取到的4個(gè)球中有標(biāo)有“馬”“上”“有”三個(gè)字的球?yàn)槿�等�?jiǎng)，可求分別獲得一、二、三等獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）ξ的可能取值為1、2、3、4，分別求出相對(duì)應(yīng)的概率，由此能求出ζ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)“摸到一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)”分別為事件A，B，C．
則P（A）=

1

4

×

1

4

×

1

4

×

1

4

=

1

256

…（2分）
P（B）=

A 3 3 -1

44

=

5

256

…（4分）
三等獎(jiǎng)的情況有：“馬，馬，上，有”；“馬，上，上，有”；“馬，上，有，有”三種情況．
P（C）=

1

4

×

1

4

×

1

4

×

1

4

×

A

2 4

×3=

9

64

…（6分）
（Ⅱ）設(shè)摸球的次數(shù)為ξ，則ξ的可能取值為1、2、3、4．
P（ξ=1）=

1

4

，P（ξ=2）=

3

4

×

1

4

=

3

16

，P（ξ=3）=

3

4

×

3

4

×

1

4

=

9

64

，
P（ξ=4）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）-P（ξ=3）=

27

64

…（10分）
故取球次數(shù)ξ的分布列為

ξ	1	2	3	4
P	1 4	3 16	9 64	27 64

Eξ=1×

1

4

+2×

3

16

+3×

9

64

+4×

27

64

=

175

64

 …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查求離散型隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望等有關(guān)知識(shí)．求出隨機(jī)變量ζ所有可能的取值的概率，是解題的難點(diǎn)．