Question

8．如圖，∠C=$\frac{π}{2}$，AC=BC，M、N分別是BC、AB的中點，將△BMN沿直線MN折起，使二面角B′-MN-B的大小為$\frac{π}{3}$，則B'N與平面ABC所成角的正切值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{5}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{15}}}{5}$

Answer 1

分析 由題意及折疊之前與折疊之后BM與CM都始終垂直于MN，且折疊之前圖形為等腰直角三角形，由于要求直線與平面所成的線面角，所以由直線與平面所成角的定義要找到斜線B′M在平面ACB內(nèi)的射影，而射影是有斜足與垂足的連線，所以關(guān)鍵是要找到點B′在平面ABC內(nèi)的投影點，然后放到直角三角形中進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵∠C=$\frac{π}{2}$，AC=BC，M、N分別是BC、AB的中點，
將△BMN沿直線MN折起，使二面角B′-MN-B的大小為$\frac{π}{3}$，
∴∠BMB′=$\frac{π}{3}$，
取BM的中點D，連B′D，ND，
由于折疊之前BM與CM都始終垂直于MN，這在折疊之后仍然成立，
∴折疊之后平面B′MN與平面BMN所成的二面角即為∠B′MD=60°，
并且B′在底面ACB內(nèi)的投影點D就在BC上，且恰在BM的中點位置，
∴B′D⊥BC，B′D⊥AD，B′D⊥面ABC，
∴∠B′ND就為斜線B′N與平面ABC所成的角
設(shè)AC=BC=a，則B′D=$\frac{\sqrt{3}}{4}a$，B′N=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，DN=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{2}-\frac{3{a}^{2}}{16}}$$\frac{\sqrt{5}a}{4}$，
tan∠B′ND=$\frac{{B}^{'}D}{DN}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}a}{\frac{\sqrt{5}a}{4}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
故B'N與平面ABC所成角的正切值是$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
故選：D．

點評 本題考查平面圖形的翻折與線面角的問題，應(yīng)注意折前與折后的各種量變與不變的關(guān)系，而對于線面角的求解通常有傳統(tǒng)的求作角、解三角形法及向量方法，這個內(nèi)容是高考中三個角的重點考查內(nèi)容之一，一般不會太難，但對學(xué)生的識圖與空間想象能力的要求較高，是很好區(qū)分學(xué)生空間想象能力的題型．