Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）在其圖象上任意一點(diǎn)（x₀，y₀）處的切線方程為y-y₀=（3

x

2 0

-6x₀）（x-x₀），且f（3）=0，則不等式

x-1

f(x)

≥0的解集為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由函數(shù)y=f（x）在其圖象上任意一點(diǎn)（x₀，y₀）處的切線方程得到函數(shù)f（x）在（x₀，y₀）處的導(dǎo)數(shù)值，即f′(x0)=3x02-6x0，進(jìn)一步得到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=3x²-6x，從而求得原函數(shù)f（x）=x³-3x²+C．再由f（3）=0求出c的值，則函數(shù)f（x）的解析式可求，代入不等式

x-1

f(x)

≥0求解分?jǐn)?shù)不等式得答案．

解答： 解：∵函數(shù)y=f（x）在其圖象上任意一點(diǎn)（x₀，y₀）處的切線方程為y-y₀=（3

x

2 0

-6x₀）（x-x₀），
∴f′(x0)=3x02-6x0，則f′（x）=3x²-6x，f（x）=x³-3x²+C．
又f（3）=0，得3³-3×3²+c=0，即C=0．
∴f（x）=x³-3x²，
∴不等式

x-1

f(x)

≥0?

x-1

x3-3x2

≥0．
即x²（x-1）（x-3）≥0 （x≠0，3），
解得：x＜0或0＜x≤1或x＞3．
∴不等式

x-1

f(x)

≥0的解集為（-∞，0）∪（0，1]∪（3，+∞）．??????????????????
故答案為：（-∞，0）∪（0，1]∪（3，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，運(yùn)用了逆推思想方法，考查了分式不等式的解法，是中檔題．