Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+3|+|x-1|的最小值為m．
（1）求m的值；
（2）若正實(shí)數(shù)a，b滿足$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\sqrt{3}$，求證：$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{^{2}}$≥$\frac{m}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用零點(diǎn)分段法，求出函數(shù)f（x）=|x+3|+|x-1|的最小值，可得答案；
（2）利用柯西不等式，可證得結(jié)論．

解答 （1）解：當(dāng)x≤-3時(shí)，f（x）=|x+3|+|x-1|=-2x-2≥4，
當(dāng)-3＜x＜1時(shí)，f（x）=|x+3|+|x-1|=4，
當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=|x+3|+|x-1|=2x+2≥4，
綜上所述函數(shù)f（x）=|x+3|+|x-1|的最小值為4，
故m=4；
（2）證明：∵$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\sqrt{3}$，
（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{^{2}}$）[1²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²]≥（$\frac{1}{a}$×1+$\frac{\sqrt{2}}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）²=3，
即（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{^{2}}$）≥2=$\frac{m}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查零點(diǎn)分段法，不等式的解法，考查柯西不等式，正確運(yùn)用柯西不等式是關(guān)鍵