Question

15．已知函數(shù)f（x）=（log₄x）²-log₄x+5，x∈[1，16]，求f（x）的最值．

Answer 1

分析 令t=log₄x，運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得t∈[0，2]，即有函數(shù)g（t）=t²-t+5=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{19}{4}$，由二次函數(shù)的最值的求法即可得到所求值．

解答 解：令t=log₄x，由x∈[1，16]，可得t∈[0，2]，
即有函數(shù)g（t）=t²-t+5=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{19}{4}$，
對(duì)稱軸為t=$\frac{1}{2}$∈[0，2]，
可得函數(shù)的最小值為$\frac{19}{4}$，此時(shí)x=2；
t=2，即x=16時(shí)，取得最大值，且為7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查可化為二次函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用換元法和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，屬于中檔題．