Question

已知f（x）是三次項系數(shù)為

a

3

的三次函數(shù)，且不等式f′（x）-9x＞0的解集為（1，2）
（1）若方程f′（x）+7a=0有兩個相等的實根，求a的值
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+ax在[1，3]上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）設f（x）=

a

3

x³+bx²+cx+d，由f′（x）-9x=ax²+2bx+c-9x＞0的解集為（1，2），得f′（x）-9x=ax²+2bx+c-9x=a（x-1）（x-2），從而得f′（x）=a（x-1）（x-2）+9x=ax²+（9-3a）x+2a，進而得f'（x）+7a=0，由方程有兩相等實根得△=0，可求a值；
（2）g（x）=f（x）+ax在[1，3]上單調遞增，等價于g'（x）≥0在[1，3]上恒成立，即f′（x）+a=ax²+（9-3a）x+3a≥0在[1，3]上恒成立，分離參數(shù)a后化為求函數(shù)的最值即可，利用基本不等式可求最值；

解答： 解：設f（x）=

a

3

x³+bx²+cx+d，∴f'（x）=ax²+2bx+c，
∵f′（x）-9x=ax²+2bx+c-9x＞0的解集為（1，2），
∴f′（x）-9x=ax²+2bx+c-9x=a（x-1）（x-2），即f′（x）=a（x-1）（x-2）+9x=ax²+（9-3a）x+2a，
（1）∵f'（x）+7a=ax²+（9-3a）x+9a=0有兩相等實數(shù)根，
∴△=（9-3a）²-36a²=0，解得a=-3或a=1．
（2）∵g（x）=f（x）+ax在[1，3]上單調遞增，
∴g'（x）≥0在[1，3]上恒成立，即f′（x）+a=ax²+（9-3a）x+3a≥0在[1，3]上恒成立，
∴a≥

-9x

x2-3x+3

在[1，3]上恒成立，

-9x

x2-3x+3

=

-9

x+ 3 x -3

，且x∈[1，3]時，2

3

≤x+

3

x

≤4，
∴

-9

x+ 3 x -3

≤

-9

4-3

=-9，
∴a≥-9．

點評：該題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、方程的根等知識，考查函數(shù)與方程思想，考查學生綜合運用知識解決問題的能力．