Question

關于x的方程x²-（6+i）x+9+ai=0（a∈R）有實根x=b．
（1）求實數(shù)a，b的值．
（2）若復數(shù)z₁=

2

1+i

，復數(shù)z滿足|z-a-bi|=|z₁|，求復數(shù)z的模|z|的最小值．

Answer 1

考點：復數(shù)相等的充要條件,復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,復數(shù)求模

專題：計算題,數(shù)系的擴充和復數(shù)

分析：（1）將x=b代入方程，得到（b²-6b+9）+（a-b）i=0，由復數(shù)相等可得方程組；
（2）設復數(shù)z=x+yi（x，y∈R），由|z-a-bi|=|z₁|可知，復數(shù)z對應的點在以（3，3）為圓心，

2

為半徑的圓上，|z|表示圓上的點到原點的距離，從而可求；

解答： 解：（1）將x=b代入方程，得到（b²-6b+9）+（a-b）i=0，
∴有

b2-6b+9=0 a-b=0

⇒

b=3 a=3

；
（2）設復數(shù)z=x+yi（x，y∈R），|z1|=|

2

1+i

|=

2

，
則：|z-a-bi|=|z1|⇒

(x-3)2+(y-3)2

=

2

⇒(x-3)2+(y-3)2=2，
∴復數(shù)z對應的點在以（3，3）為圓心，

2

為半徑的圓上，|z|表示圓上的點到原點的距離，
∴|z|min=3

2

-

2

=2

2

，
∴|z|的最小值為2

2

．

點評：該題考查復數(shù)相等的充要條件、復數(shù)代數(shù)形式的運算及其幾何意義，屬基礎題．