Question

若函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），對(duì)定義域內(nèi)的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y），并且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，且f（4）=2
（1）證明函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)；
（2）證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
（3）若函數(shù)g（x）=2^x-2，且當(dāng)a∈[1，4]時(shí)，有f（a）=g（b），求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用函數(shù)的奇偶性的定義，令x=y=1得到f（1）=0，令x=y=-1得到f（-1）=0，令y=-1則f（-x）=f（x），結(jié)論成立；
（2）運(yùn)用增函數(shù)的定義證明，令0＜x₁＜x₂則

x2

x1

＞1，f（

x2

x1

）＞0，再由條件可得到f（x₂）＞f（x₁），
可得證；
（3）由a∈[1，4]，f（x）為增函數(shù)，求出f（a）的取值范圍，再解0≤2^b-2≤2，即可得到b的取值范圍．

解答： （1）證明：∵定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴令x=y=1則f（1）=2f（1）
∴f（1）=0，
令x=y=-1則f（1）=2f（-1）
∴f（-1）=0，
令y=-1則f（-x）=f（x）+f（-1）
∴f（-x）=f（x）即y=f（x）為偶函數(shù)；
（2）證明：∵當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，
令0＜x₁＜x₂則

x2

x1

＞1，
f（

x2

x1

）＞0即f（x₂）+f（

1

x1

）＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
（3）解：由g（x）=2^x-2得g（b）=2^b-2，
又a∈[1，4]，f（x）為增函數(shù)，
∴f（1）最大即為0，f（4）最大即為2，
即0≤2^b-2≤2故1≤b≤2，
∴b的取值范圍是[1，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性及應(yīng)用，注意定義的運(yùn)用，以及考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，屬于中檔題．