已知中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓C方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，橢圓上的點到焦點距離最大值為3，離心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）A，B為橢圓上的點，△AOB面積為
3
，求證：|OA|2+|OB|2為定值．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）由題意可得
a+c=3
c
a
=
1
2
，解出a，c，由平方關系可得b；
（Ⅱ）分情況討論：當直線AB斜率不存在時，易求|OA|2+|OB|2=7；當直線AB存在斜率時，設直線AB：y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立消掉y得，（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，由弦長公式可表示|AB|，由點到直線的距離公式可得O到AB的距離，由面積公式可得k，m的方程，由此可求得|OA|2+|OB|2=7；
解答： 解：（Ⅰ）由題意可得
a+c=3
c
a
=
1
2
，解得
a=2
c=1
，
∴b2=3，
∴橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2），
（1）當直線AB斜率不存在時，S△AOB=
3
=|x1y1|⇒x12y12=3⇒
y12
3
=
1
x12
，
代入
x12
4
+
y12
3
=1，得x12=2，則y12=
3
2
，
∴|OA|2+|OB|2=x12+y12+x22+y22=2（x12+y12）=7；
（2）當直線AB斜率存在時，設直線AB：y=kx+m，
與
x2
4
+
y2
3
=1聯(lián)立得，（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，△=48（4k2-m2+3）＞0，
由韋達定理得，
x1+x2=-
8km
4k2+3
x1x2=
4m2-12
4k2+3
，
原點O到直線AB的距離d=
|m|
1+k2
，
|AB|=
1+k2
|x1-x2|=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2

=
1+k2
•
(-
8km
4k2+3
)2-4•
4m2-12
4k2+3

=
4
1+k2
•
-3m2+12k2+9
4k2+3
，
則S△AOB=
3
=
1
2
1+k2
|x1-x2|•
|m|
1+k2
，代入整理得
1
4
=
(4k2+3)-m2
(4k2+3)2
•m2，
化簡得2m2=3+4k2，
∴|OA|2+|OB|2=x12+y12+x22+y22=x12+（3-
3
4
x12）+x22+(3-
3
4
x22)=
1
4
(x12+x22)+6
=
1
4
[(x1+x2)2-2x1x2]+6=
1
4
[(-
8km
4k2+3
)2-2•
4m2-12
4k2+3
]+6
=2•
4k2m2-3m2+12k2+9
(4k2+3)2
+6
=2•
(4k2-3)m2+12k2+9
(4k2+3)2
+6=2•
(4k2-3)•
4k2+3
2
+12k2+9
(4k2+3)2
+6=7．
綜上，|OA|2+|OB|2=7（定值）．
點評：本題考查橢圓的性質及應用，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，綜合性強，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)y=f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），對定義域內的任意兩個實數(shù)x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y），并且當x＞1時，f（x）＞0，且f（4）=2
（1）證明函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)；
（2）證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
（3）若函數(shù)g（x）=2x-2，且當a∈[1，4]時，有f（a）=g（b），求b的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某軟件公司研發(fā)了多款軟件，其中A，B，C三種軟件供高中生使用，經某高中使用一學年后，該公司調查了這個學校同一年級四個班的使用情況，從各班抽取的樣本人數(shù)如下表：
班級 一 二 三 四
人數(shù) 3 2 3 4
（1）從這12人中隨機抽取2人，求這2人恰好來自同一個班級的概率；
（2）從這12人中，指定甲、乙、丙3人為代表，已知他們每人選擇一款軟件，其中選A，B兩款軟件的概率都是
1
6
，且他們選擇A，B，C任一款軟件都是相互獨立的．設這3名學生中選擇軟件C的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某海域設立東西方向兩個觀測點A、B，相距
20
3
3
海里．現(xiàn)接到一艘漁船發(fā)出的求救訊號，測出該船位于點A北偏東30°，點B北偏西60°的C點．立刻通知位于B觀測點南偏西60°且與B點相距16海里的D處的救援船前去營救，若救援船以28海里/小時的航速前往，問需要多長時間到達C處？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={x|x2+x-6≥0}，B={x|x2-6x+5＜0}，C={x|m-1≤x≤2m}
（Ⅰ）求A∩B，（∁RA）∪B；    
（Ⅱ）若B∩C=C，求實數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求函數(shù)y=
1+x
+
2-2x
的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某工廠為了對新研發(fā)的一種產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的價格進行試銷，獲得單價xi（元）與銷量yi（件）的數(shù)據(jù)資料如下表：
單價x（元） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9
銷量y（件） 90 84 83 80 75 68
（Ⅰ）求單價x對銷量y的回歸直線方程
y
=bx+a，（其中b=-20，a=
.
y
-b
.
x
）
（Ⅱ）為了使銷量達到100件，則單價應定為多少？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A（2，0），B（5，9），動點D滿足條件：
OD
=t
OA
+（1-t）
OB
，t∈R．
（1）求動點D的軌跡的參數(shù)方程（以t為參數(shù)）；
（2）動點D的軌跡與拋物線y2=9x相交于P，Q兩點，求線段PQ中點M的坐標．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

將全體正整數(shù)排成如圖所示的一個三角形數(shù)陣．記第i行第j列（i，j為正整數(shù)）位置上的數(shù)為aij，如a35=5，a41=7，那么a95=
 
．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案