Question

某煤礦發(fā)生透水事故時，作業(yè)區(qū)有若干人員被困．救援隊從入口進入之后有L₁，L₂兩條巷道通往作業(yè)區(qū)（如圖），L₁巷道有A₁，A₂，A₃三個易堵塞點，各點被堵塞的概率都是

1

2

；L₂巷道有B₁，B₂兩個易堵塞點，被堵塞的概率分別為

3

4

，

3

5

．
（Ⅰ）求L₁巷道中，三個易堵塞點最多有一個被堵塞的概率；
（Ⅱ）若L₂巷道中堵塞點個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望EX，并按照“平均堵塞點少的巷道是較好的搶險路線“的標準，請你幫助救援隊選擇一條搶險路線，并說明理由．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）利用互獨立事件的概率計算公式即可得出；
（Ⅱ）比較走兩條路的數(shù)學期望的大小，即可得出要選擇的路線．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)”L₁巷道中，三個易堵塞點最多有一個被堵塞”為事件A
則P(A)=

C

0 3

×(

1

2

)3+

C

1 3

×

1

2

×(

1

2

)2=

1

2

（Ⅱ）依題意，X的可能取值為0，1，2
P(X=0)=(1-

3

4

)×(1-

3

5

)=

1

10

P(X=1)=

3

4

×(1-

3

5

)+(1-

3

4

)×

3

5

=

9

20

P(X=2)=

3

4

×

3

5

=

9

20

所以，隨機變量X的分布列為：

X	0	1	2
P	1 10	9 20	9 20

EX=0×

1

10

+1×

9

20

+2×

9

20

=

27

20

設(shè)L₁巷道中堵塞點個數(shù)為Y，則Y的可能取值為0，1，2，3，
P(Y=0)=

C

0 3

×(

1

2

)3=

1

8

，
P(Y=1)=

C

1 3

×

1

2

×(

1

2

)2=

3

8

，
P(Y=2)=

C

2 3

×(

1

2

)2×

1

2

=

3

8

，
P(Y=3)=

C

3 3

×(

1

2

)3=

1

8

，
所以，隨機變量Y的分布列為：

Y	0	1	2	3
P	1 8	3 8	3 8	1 8

EY=0×

1

8

+1×

3

8

+2×

3

8

+3×

1

8

=

3

2

．
因為EX＜EY，所以選擇L₂巷道為搶險路線為好．

點評：熟練掌握二項分布列、相互獨立事件的概率計算公式及離散型隨機變量的期望計算公式及其意義是解題的關(guān)鍵．