Question

實(shí)數(shù)a，b兩數(shù)中最小值用min{a，b}表示，若函數(shù)f（x）=min{x²，（x-m）²}（m為常數(shù)）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f（x）在[0，4]上的值域是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知條件及函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，求出m，進(jìn)而得出函數(shù)的解析式及已知x的范圍求得y的范圍．

解答： 解：當(dāng)x=0時(shí)，min{x²，（x-m）²}=min{0，m²}=0
∴f（0）=0
∵f（x）=min{x²，（x-m）²}（m為常數(shù)）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，
∴f（2）=f（0）=0
∴min{2²，（2-m）²}=0
根據(jù)min{a，b}表的定義，只能有2-m=0
∴m=2
∴f（x）=min{x²，（x-2）²}
①當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，|x|＜|x-2|，即x²＜（x-2）²，
則f（x）=min{x²，（x-2）²}=x²，
∵函數(shù)f（x）=x²在區(qū)間[0，1]上單調(diào)增，
∴f（x）∈[0，1]
②當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，|x|＜|x-2|，即x²＞（x-2）²，
則f（x）=min{x²，（x-2）²}=（x-2）²，
函數(shù)f（x）=（x-2）²在區(qū)間[1，4]時(shí)，當(dāng)x=2時(shí)有最小值0，當(dāng)x=4時(shí)，f（x）有最大值4，
∴f（x）∈[0，4]
綜合①②可知函數(shù)f（x）在[0，4]時(shí)，f（x）∈[0，4]
故答案為：[0，4]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的值域問(wèn)題及分段函數(shù)．分段函數(shù)的函數(shù)值和相關(guān)不等式是高考的常考點(diǎn)．用好分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合的思想，可起到事半功倍的效果．