Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項的和為S_n=n（n+1）
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（2）求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求出數(shù)列{a_n}的通項公式，然后直接利用等差數(shù)列的定義得答案；
（2）由已知得

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，再由裂項相消法求得

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

．

解答： （1）證明：由S_n=n（n+1），
當n≥2時，
a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-（n-1）n=2n．
又a₁=S₁=2．
∴a_n=2n．
∴a_n+1-a_n=2（n+1）-2n=2為一常數(shù)．
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（2）解：∵

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點評：本題考查由數(shù)列的前n項和求數(shù)列的通項公式，考查了裂項相消法求數(shù)列的和，是中檔題．