Question

對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f（x），若同時(shí)滿足：①f（x）在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]；那么把函數(shù)y=f（x）（x∈D）叫做閉函數(shù)．
（1）求閉函數(shù)y=x 

1

3

符合條件②的區(qū)間[a，b]；
（2）若y=2+

x-k

是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡單的合情推理

專題：規(guī)律型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）確定y=x

1

3

在[a，b]上遞增，可得

b=b 1 3 a=a 1 3 b＞a

，解方程組，即可得出結(jié)論；
（2）易知y=2+

x-k

是增函數(shù)，符合條件①；設(shè)函數(shù)符合條件②的區(qū)間為[a，b]，則

a=2+ a-k b=2+ b-k

，故a，b為方程x=2+

x-k

的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即方程x²-5x+4+k=0（x≥2且x≥k）有兩個(gè)不相等的實(shí)根，構(gòu)造關(guān)于k的不等式組，解不等式組可得答案．

解答： 解：（1）由題意，y=x

1

3

在[a，b]上遞增，
則

b=b 1 3 a=a 1 3 b＞a

，
解得

a=-1 b=0

或

a=-1 b=1

或

a=0 b=1

，
所以，所求的區(qū)間為[-1，0]或[-1，1]或[0，1]．…（6分）（解得一個(gè)區(qū)間得2分）
（2）若y=2+

x-k

是閉函數(shù)，則存在區(qū)間[a，b]，
在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)閇a，b]…（6分）
容易證明函數(shù)y=2+

x-k

在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
∴

a=2+ a-k b=2+ b-k

       …（8分）
∴a，b為方程x=2+

x-k

的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．…（10分）
即方程x²-5x+4+k=0（x≥2且x≥k）有兩個(gè)不相等的實(shí)根．
∴

k＜2 △=25-16-4k＞0 4-5•2+4+k≥0

或

2≤k＜ 5 2 △=25-16-4k＞0 k-5k+4+k≥0

 …（14分）
解得2≤k＜

9

2

，綜上所述，k∈[2，

9

4

)   …（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．