【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點,作EF⊥PB交PB于點F.
(1)證明PA∥平面EDB;
(2)證明PB⊥平面EFD;
(3)求二面角C﹣PB﹣D的大小.
【答案】
(1)解:方法一:證明:連接AC,AC交BD于O,連接EO.
∵底面ABCD是正方形,∴點O是AC的中點
在△PAC中,EO是中位線,∴PA∥EO
而EO平面EDB且PA平面EDB,
所以,PA∥平面EDB
方法二:如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,D為坐標(biāo)原點,設(shè)DC=a.
證明:連接AC,AC交BD于G,連接EG.
依題意得 .
∵底面ABCD是正方形,∴G是此正方形的中心,故點G的坐標(biāo)為 且 .
∴ ,這表明PA∥EG.
而EG平面EDB且PA平面EDB,∴PA∥平面EDB.
(2)解:證明:
∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD,∴PD⊥DC
∵PD=DC,可知△PDC是等腰直角三角形,而DE是斜邊PC的中線,
∴DE⊥PC.①
同樣由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.
∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC.
而DE平面PDC,∴BC⊥DE.②
由①和②推得DE⊥平面PBC.
而PB平面PBC,∴DE⊥PB
又EF⊥PB且DE∩EF=E,所以PB⊥平面EFD
證明;依題意得B(a,a,0), .
又 ,故 .
∴PB⊥DE.
由已知EF⊥PB,且EF∩DE=E,所以PB⊥平面EFD.
(3)解:方法一:解:由(2)知,PB⊥DF,故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角.
由(2)知,DE⊥EF,PD⊥DB.
設(shè)正方形ABCD的邊長為a,
則 , .
在Rt△PDB中, .
在Rt△EFD中, ,∴ .
所以,二面角C﹣PB﹣D的大小為 .
方法二:解:設(shè)點F的坐標(biāo)為(x0,y0,z0), ,則(x0,y0,z0﹣a)=λ(a,a,﹣a).
從而x0=λa,y0=λa,z0=(1﹣λ)a.所以 .
由條件EF⊥PB知, ,即 ,解得 /span>
∴點F的坐標(biāo)為 ,且 ,
∴
即PB⊥FD,故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角.
∵ ,且 , ,
∴ .
∴ .
所以,二面角C﹣PB﹣D的大小為
【解析】法一:(1)連接AC,AC交BD于O,連接EO要證明PA∥平面EDB,只需證明直線PA平行平面EDB內(nèi)的直線EO;(2)要證明PB⊥平面EFD,只需證明PB垂直平面EFD內(nèi)的兩條相交直線DE、EF,即可;(3)必須說明∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角,然后求二面角C﹣PB﹣D的大小.法二:如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,D為坐標(biāo)原點,設(shè)DC=a.(1)連接AC,AC交BD于G,連接EG,求出 ,即可證明PA∥平面EDB;(2)證明EF⊥PB, ,即可證明PB⊥平面EFD;(3)求出 ,利用 ,求二面角C﹣PB﹣D的大小.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,設(shè)向量 , , .
(1)若 ∥ ,求證:△ABC為等腰三角形;
(2)若 ⊥ ,邊長c=2,角C= ,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校高一 、高二 、高三三個年級共有 名教師,為調(diào)查他們的備課時間情況,通過分層
抽樣獲得了名教師一周的備課時間 ,數(shù)據(jù)如下表(單位 :小時):
高一年級 | ||||||||
高二年級 | ||||||||
高三年級 |
(1)試估計該校高三年級的教師人數(shù) ;
(2)從高一年級和高二年級抽出的教師中,各隨機選取一人,高一年級選出的人記為甲 ,高二年級選出的人記為乙 ,求該周甲的備課時間不比乙的備課時間長的概率 ;
(3)再從高一、高二、高三三個年級中各隨機抽取一名教師,他們該周的備課時間分別是(單位: 小時),這三個數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為,表格中的數(shù)據(jù)平均數(shù)記為 ,試判斷與的大小. (結(jié)論不要求證明)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓()的兩個頂點分別為和,兩個焦點分別為和(),過點的直線與橢圓相交于另一點,且.
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)設(shè)直線上有一點()在的外接圓上,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線: (為參數(shù))和直線: (為參數(shù)).
(1)將曲線的方程化為普通方程;
(2)設(shè)直線與曲線交于兩點,且為弦的中點,求弦所在的直線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1內(nèi)接于半徑為 的半球O,四邊形ABCD為正方形,則該四棱柱的體積最大時,AB的長是( )
A.1
B.
C.
D.2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某網(wǎng)絡(luò)營銷部門為了統(tǒng)計某市網(wǎng)友2015年11月11日在某網(wǎng)店的網(wǎng)購情況,隨機抽查了該市100名網(wǎng)友的網(wǎng)購金額情況,得到如下頻率分布直方圖.
(1)估計直方圖中網(wǎng)購金額的中位數(shù);
(2)若規(guī)定網(wǎng)購金額超過15千元的顧客定義為“網(wǎng)購達人”,網(wǎng)購金額不超過15千元的顧客定義為“非網(wǎng)購達人”;若以該網(wǎng)店的頻率估計全市“非網(wǎng)購達人”和“網(wǎng)購達人”的概率,從全市任意選取3人,則3人中“非網(wǎng)購達人”與“網(wǎng)購達人”的人數(shù)之差的絕對值為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+1)= ,且f(x)在[﹣3,﹣2]上是減函數(shù),若α,β是銳角三角形的兩個內(nèi)角,則( )
A.f(sinα)>f(sinβ)
B.f(cosα)>f(cosβ)
C.f(sinα)>f(cosβ)
D.f(sinα)<f(cosβ)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn . 已知a1=1, =an+1﹣ n2﹣n﹣ ,n∈N* .
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足an﹣an﹣1=bna ,求數(shù)列{bn}的n前項和Tn;
(3)是否存在實數(shù)λ,使得不等式λa ﹣ +a + ≥0恒成立,若存在,求出λ的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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