Question

設D是函數(shù)y=f（x）定義域內的一個子區(qū)間，若存在x₀∈D，使f（x₀）=-x₀，則稱x₀是f（x）的一個“開心點”，也稱f（x）在區(qū)間D上存在開心點．若函數(shù)f（x）=ax²-2x-2a-

3

2

在區(qū)間[-3，-

3

2

]上存在開心點，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，0）
• B、[-

  1

  4

  ，0]
• C、[-

  3

  14

  ，0]
• D、[-

  3

  14

  ，-

  1

  4

  ]

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：計算題,新定義,函數(shù)的性質及應用

分析：根據(jù)“f（x）在區(qū)間D上有開心點”當且僅當“F（x）=f（x）+x在區(qū)間D上有零點”，依題意，存在x∈[-3，-

3

2

]，使F（x）=f（x）+x=ax²-2x-2a-

3

2

+x=0，將a分離出來，利用導數(shù)研究出等式另一側函數(shù)的取值范圍，即可求出a的范圍．

解答： 解：依題意，存在x∈[-3，-

3

2

]，使F（x）=f（x）+x=ax²-2x-2a-

3

2

+x=0，
解得a=

x+ 3 2

x2-2

，
由a′=

x2-2-2x2-3x

(x2-2)2

=0，求出[-3，-

3

2

]上的x=-2，此時a=-

1

4

；
當x=-3時，a=-

3

14

；x=-

3

2

時，a=0，
故實數(shù)a的取值范圍是[-

1

4

，0]．
故選：B．

點評：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運用，以及函數(shù)零點和利用導數(shù)研究最值等有關知識，屬于中檔題．