已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），滿足xf′（x）+2f（x）=
lnx
x
，且f（e）=
1
2e
，則f（x）的單調(diào)性情況為（　�。�
A、先增后減B、單調(diào)遞增
C、單調(diào)遞減D、先減后增
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：由xf′（x）+2f（x）=
lnx
x
，得：x2f′（x）+2xf（x）=lnx，即[x2f（x）]′=lnx，故x2f（x）=xlnx-x+c，由f（e）=
1
2e
，求出c值，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)法分析出f′（x）≤0恒成立，進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)性．
解答： 解：∵xf′（x）+2f（x）=
lnx
x
，
∴x2f′（x）+2xf（x）=lnx
∴[x2f（x）]′=lnx，
∴x2f（x）=xlnx-x+c，
將x=e代入可得：
e2f（e）=elne-e+c，
∵f（e）=
1
2e
，
∴c=
e
2

∴x2f（x）=xlnx-x+
e
2
，
∴f（x）=
2xlnx-2x+e
2x2

∴f′（x）=
4x2lnx-8x2lnx+8x3-4ex
4x4
=
-xlnx+2x-e
x3
，
令g（x）=-xlnx+2x-e，
則g′（x）=1-lnx，
當(dāng)x∈（0，e）時，g′（x）＞0，x∈（e，+∞）時，g′（x）＜0，
故當(dāng)x=e時，g（x）取最大值0，
故g（x）≤0恒成立，
故f′（x）≤0恒成立，
∴f（x）是減函數(shù)．
故選：C
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值時的應(yīng)用，是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度大，運(yùn)算量大，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若log
3
4
a＞1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將函數(shù)y=f（x）的圖象上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，然后把所得的圖象上的所有點(diǎn)沿x軸向左平移
π
6
個單位，這樣得到的曲線和函數(shù)y=sin2x的圖象相同，則函數(shù)y=f（x）的解析式為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積是
 
；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若f′（2）=1，則
lim
△x→O
f(2+2△x)-f(2)
△x
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列命題中，正確的是（　�。�
A、一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面內(nèi)的兩條直線分別平行，則這兩個平面平行
B、平面α⊥β，直線m⊥β，則m∥α
C、直線l是平面α的一條斜線，且l?β，則α與β必不垂直
D、直線l⊥平面α，直線l∥平面β，則α⊥β

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosx+1，將f（x）的圖象向左平移
π
6
個單位得到函數(shù)g（x）的圖象，則函數(shù)g（x）的單調(diào)減區(qū)間為（　�。�
A、[
π
12
+2kπ，
7π
12
+2kπ]，k∈Z
B、[
π
12
+kπ，
7π
12
+kπ]，k∈Z
C、[
π
6
+kπ，
2π
3
+kπ]，k∈Z
D、[
π
6
+2kπ，
2π
3
+2kπ]，k∈Z

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={-1，0，1，2，3}，B={x∈R|
3
x
＜2}，則A∩B=（　�。�
A、{1，2，3}
B、{2，3}
C、{-1，2，3}
D、{-1，1，2}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一個幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖為正三角形，則這個幾何體的體積為（　�。�
A、4
3
B、8
3
C、16
3
D、32
3

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同步練習(xí)冊答案