Question

20．已知函數(shù)f（x）═ax+a-1+xlnx．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知函數(shù)有極小值-e^-2．若k∈Z，且f（x）-k（x-1）＞0對任意x∈（1，+∞）恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)小于0求出x的范圍與定義域的公共范圍是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)大于0求出x的范圍與定義域的公共范圍是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）先求出a的值，整理后得k＜$\frac{f（x）}{x-1}$，問題轉(zhuǎn)化為對任意x∈（1，+∞），k＜$\frac{f（x）}{x-1}$恒成立，求正整數(shù)k的值．設(shè)函數(shù)g（x），求其導(dǎo)函數(shù)，得到其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)x₀位于（3，4）內(nèi)，且知此零點(diǎn)為函數(shù)h（x）的最小值點(diǎn)，經(jīng)求解知h（x₀）=x₀，從而得到k＜x₀，則正整數(shù)k的最大值可求．

解答 解：（1）∵f（x）=ax+a-1+xlnx．
∴f′（x）=-a+1+lnx，其定義域?yàn)椋?，+∞）
令f′（x）＞0，x＞e^a-1，令f′（x）＜0，0＜x＜e^a-1，
則函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（e^a-1，+∞），
函數(shù)g（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，e^a-1）；
（2）由（1）知，f（x）的極小值為f（e^-a-1）=-e^-a-1=-e^-2，得a=1．
當(dāng)x＞1時，令g（x）=$\frac{f（x）}{x-1}$=$\frac{x+xlnx}{x-1}$
∴g′（x）=$\frac{x-2-lnx}{（x-1）^{2}}$，
令h（x）=x-2-lnx，
∴h′（x）=1-$\frac{1}{x}$＞0，
故y=h（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
由于h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0，
∴存在x₀∈（3，4），使得h（x₀）=0．
則x∈（1，x₀），h（x）＜0，知g（x）為減函數(shù)；
x∈（x₀，+∞），h′（x）＞0，知g（x）為增函數(shù)．
∴g（x）_min=g（x₀）=$\frac{{x}_{0}+{x}_{0}ln{x}_{0}}{{x}_{0}-1}$=x₀，
∴k＜x₀，
又x₀∈（3，4），k∈Z，
∴k_max=3．

點(diǎn)評 本題主要考查了函數(shù)的極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，以及根的存在性定理的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．