Question

8．設(shè)f（x）是定義在[1，+∞）的函數(shù)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，f（3x）=3f（x），且f（x）=1-|x-2|，1≤x≤3，則使得f（x）=f（2015）的最小實(shí)數(shù)x為（　　）

• A． 172
• B． 415
• C． 557
• D． 89

Answer 1

分析 根據(jù)條件先求出f（2015）=172，然后根據(jù)條件求出分段函數(shù)在每一段上的最大值，然后只需找到相應(yīng)的那個(gè)區(qū)間即可求出來(lái)．

解答 解：因?yàn)閒（x）對(duì)于所有的正實(shí)數(shù)x均有f（3x）=3f（x），
所以f（x）=3f（$\frac{x}{3}$），
所以f（2015）=3f（$\frac{2015}{3}$）=3²f（$\frac{2015}{{3}^{2}}$）=…=3ⁿf（$\frac{2015}{{3}^{n}}$），
當(dāng)n=6時(shí)，$\frac{2015}{{3}^{6}}$∈（1，3），
所以f（2015）=3⁶[1-$\frac{2015}{{3}^{6}}$+2]=3⁷-2015=172，
同理f（x）=3ⁿf（$\frac{x}{{3}^{n}}$）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{n}[1-（\frac{x}{{3}^{n}}-2）]，2≤\frac{x}{{3}^{n}}≤3}\\{{3}^{n}[1+（\frac{x}{{3}^{n}}-2）]，1≤\frac{x}{{3}^{n}}＜2}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{n+1}-x，2≤\frac{x}{{3}^{n}}≤3}\\{x-{3}^{n}，1≤\frac{x}{{3}^{n}}＜2}\end{array}\right.$，（n∈N^*）
∵f（2）=1，∴f（6）=3f（2）=3，f（18）=3f（6）=3²=9，
f（54）=3f（18）=3³=27，f（162）=3f（54）=3⁴=81，
f（486）=3f（162）=3⁵=243，
即此時(shí)由f（x）=3⁵f（$\frac{x}{{3}^{5}}$）=3⁵（$\frac{x}{{3}^{5}}$-1）=x-3⁵=172
得x=3⁵+172=243+172=415，
即使得f（x）=f（2015）的最小實(shí)數(shù)x為415，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題應(yīng)屬于選擇題中的壓軸題，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于如何將f（2015）轉(zhuǎn)化到[1，3]上求出它的函數(shù)值，二是如何利用方程思想構(gòu)造方程，按要求求出x的值．