Question

函數(shù)f(x)=

2+cos2x

1+4cosx

(-

π

2

≤x≤

π

2

)的值域為

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計算題

分析：先由函數(shù)f(x)=

2+cos2x

1+4cosx

(-

π

2

≤x≤

π

2

)化簡為：f(x)=

1+2cos2x

1+4cosx

，再設(shè)1+4cosx=t，其中1≤t≤5，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系，需要求出導函數(shù)并令其等于零得到x的值，然后討論函數(shù)的增減性來判斷函數(shù)的極值，得到函數(shù)的最小值即可．

解答： 解：由f(x)=

2+cos2x

1+4cosx

，得f(x)=

1+2cos2x

1+4cosx

，設(shè)1+4cosx=t，其中1≤t≤5．
∴y=

1+2×( t-1 4 )2

t

=

t2-2t+9

8t

=

t

8

+

9

8t

-

1

4

≥2

t 8 × 9 8t

-

1

4

=

1

2

，當且僅當t=3時取等號．
t∈[1，3]函數(shù)單調(diào)遞減，t∈[3，5]時函數(shù)單調(diào)遞增，
又t=1時y=1，t=5時，y=

3

5

．
函數(shù)的值域為：[

1

2

，1]．
故答案為：[

1

2

，1]．

點評：本題考查了三角函數(shù)的二倍體公式三角函數(shù)的化簡；研究函數(shù)的最值問題．考查應(yīng)用所學導數(shù)的知識、思想和方法解決實際問題的能力，建立函數(shù)式、解方程、不等式、最大值等基礎(chǔ)知識．