Question

設(shè)與圓（x-1）²+（y-1）²=1相切的直線n：經(jīng)過兩點(diǎn)A（a，0），B（0，b），其中a＞2，b＞2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB面積的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用,直線與圓

分析：根據(jù)題意設(shè)出直線n的截距式方程，化簡得bx+ay-ab=0．由直線n與圓（x-1）²+（y-1）²=1相切，利用點(diǎn)到直線的距離公式列式并化簡，得到ab-2a-2b+2=0，再利用基本不等式算出ab≥6+4

2

．最后根據(jù)三角形的面積公式加以計(jì)算，可得△AOB面積的最小值為3+2

2

．

解答： 解：∵直線n經(jīng)過兩點(diǎn)A（a，0）、B（0，b），
∴設(shè)直線n的方程為

x

a

+

y

b

=1，化簡得bx+ay-ab=0．
∵直線n與圓（x-1）²+（y-1）²=1相切，
∴圓心（1，1）到直線n的距離等于半徑，即

|b+a-ab|

b2+a2

=1，
去分母，平方得（b+a-ab）²=a²+b²，即a²b²+2ab-2a²b-2ab²=0，
化簡整理得ab-2a-2b+2=0，
∵a＞2且b＞2，∴a+b≥2

ab

，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立）
由此可得ab+2=2（a+b）≥4

ab

，即ab-4

ab

+2≥0，
解之得

ab

≤2-

2

或

ab

≥2+

2

．
∵a＞2且b＞2，∴

ab

＞2，可得

ab

≥2+

2

，ab≥（2+

2

）²=6+4

2

，
又∵△AOB的面積S=

1

2

|OA|•|OB|=

1

2

ab，
∴當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，△AOB的面積S的最小值S=

1

2

（6+4

2

）=3+2

2

．
故答案為：3+2

2

點(diǎn)評：本題給出與定圓相切的直線n，求n被坐標(biāo)軸截得三角形面積的最小值，著重考查了直線的方程、直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、不等式的解法與利用基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．