Question

若曲線f（x）=x^-2在點(diǎn)（a，a^-2）處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3，則a=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,直線的截距式方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：欲求切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積，關(guān)鍵是曲線f（x）=x^-2在點(diǎn)（a，a^-2）處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=a處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．

解答： 解：∵f（x）=x^-2，
∴f′（x）=-2x^-3，
∴曲線在點(diǎn)（a，a^-2）處切線的方程為y-a^-2=-2a^-3（x-a），
此直線與x軸、y軸交點(diǎn)分別為（1.5a，0）和（0，a^-2），
∵曲線f（x）=x^-2在點(diǎn)（a，a^-2）處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3，
∴S=

1

2

×|1.5a|×|a^-2|=3，
∴a=±

3

4

．
故答案為：±

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義和直線的方程等基本知識(shí)．屬于基礎(chǔ)題．