Question

已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓過(guò)點(diǎn)P（2，

3

），且它的離心率e=

1

2

．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）與圓（x-1）²+y²=1相切的直線l：y=kx+t交橢圓于M，N兩點(diǎn)，若橢圓上一點(diǎn)C滿足

OM

+

ON

=λ

OC

，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由已知得：

4 a2 + 3 b2 =1 c a = 1 2 c2=a2-b2

，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ） 因?yàn)橹本�l：y=kx+t與圓（x-1）²+y²=1相切，所以2k=

1-t2

t

，把y=kx+t代入

x2

8

+

y2

6

=1，得：（3+4k²）x²+8ktx+4t²-24=0，由此能求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ） 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
由已知得：

4 a2 + 3 b2 =1 c a = 1 2 c2=a2-b2

，解得

a2=8 b2=6

，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

8

+

y2

6

=1．
（Ⅱ） 因?yàn)橹本�l：y=kx+t與圓（x-1）²+y²=1相切，
所以

|t+k|

1+k2

=1，2k=

1-t2

t

，t≠0，
把y=kx+t代入

x2

8

+

y2

6

=1，并整理得：（3+4k²）x²+8ktx+4t²-24=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則有x1+x2=-

8kt

3+4k2

，
y₁+y₂=kx₁+t+kx₂+t
=k（x₁+x₂）+2t=

6t

3+4k2

，
因?yàn)?span id="vdtj759" class="MathJye">λ

OC

=（x₁+x₂，y₁+y₂），
所以C（

-8kt

(3+4k2)λ

，

6t

(3+4k2)λ

），
又因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上，所以

8k2t2

(3+4k2)2λ2

+

6t2

(3+4k2)2λ2

=1，
λ2=

2t2

3+4k2

=

2

( 1 t2 )2+( 1 t2 )+1

，
因?yàn)閠²＞0，所以(

1

t2

)2+(

1

t2

)+1＞1，
所以0＜λ²＜2，所以λ的取值范圍為（-

2

，0）∪（0，

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．