Question

已知正項數(shù)列{a_n}的前項和為S_n，且滿足S_n+a_n=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設c_n=

1

an

，數(shù)列{b_n}，滿足b₁c₁+b₂c₂+…+b_nc_n=（2n-1）2ⁿ⁺¹+2，求出數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）根據(jù)數(shù)列項和前n項和之間的關系，即可求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）求出c_n的表達式，構造方程組，利用作差法即可得到結論．

解答： 解：（1）由S_n+a_n=1，
得S_n-1+a_n-1=1，
兩式相減得S_n-S_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2），
又由S_n-S_n-1=a_n，
得a_n=

1

2

a_n-1，（n≥2），
∵S₁+a₁=2a₁=1，∴a₁=

1

2

，
即數(shù)列{a_n}是公比q=

1

2

的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=

1

2

•(

1

2

)n-1=（

1

2

）ⁿ．
（2）c_n=

1

an

=2ⁿ，
∵b₁c₁+b₂c₂+…+b_nc_n=（2n-1）2ⁿ⁺¹+2，
∴b₁c₁+b₂c₂+…+b_n-1c_n-1=（2n-3）2ⁿ+2，（n≥2），
兩式相減得b_nc_n=（2n-1）2ⁿ⁺¹-（2n-3）2ⁿ，
即2ⁿ•b_n=（2n-1）2ⁿ⁺¹-（2n-3）2ⁿ，
∴b_n=2（2n-1）-（2n-3）=2n+1，
當n=1時，b₁c₁=2b₁=2²+2=6，
∴b₁=3，滿足b_n=2n+1，
則數(shù)列{b_n}的通項公式為b_n=2n+1．

點評：本題主要考查遞推數(shù)列的應用，根據(jù)數(shù)列的遞推關系，利用作差法是解決本題的關鍵．