Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱SA⊥底面ABCD，過(guò)A作AE垂直SB交SB于E點(diǎn)，作AH垂直SD交SD于H點(diǎn)，平面AEH交SC于K點(diǎn)，P是SA上的動(dòng)點(diǎn)，且AB=1，SA=2．
（1）試證明不論點(diǎn)P在何位置，都有DB⊥PC；
（2）求PB+PH的最小值；
（3）設(shè)平面AEKH與平面ABCD的交線為l，求證：BD∥l．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的性質(zhì),棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：對(duì)于（1）既然不論點(diǎn)P在SA上何位置，都有DB⊥PC，那應(yīng)該有BD⊥面SAC；
對(duì)于（2）需要將PB+PH的表達(dá)式用函數(shù)表示出來(lái)
對(duì)于（3）利用線面平行的性質(zhì)定理和判定定理

解答： （1）證明：∵底面ABCD是正方形∴DB⊥AC，------------------------------（1分）
∵SA⊥底面ABCD，BD?面ABCD，∴DB⊥SA，---------------------（2分）
又SA∩AC=A∴BD⊥平面SAC，
∵不論點(diǎn)P在何位置都有PC?平面SAC，
∴DB⊥PC．----------------------------------------------（3分）
（2）解：將側(cè)面SAB繞側(cè)棱SA旋轉(zhuǎn)到與側(cè)面SAD在同一平面內(nèi)，如圖示，
則當(dāng)B、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，PB+PH取最小值，這時(shí)，PB+PH的最小值即線
段BH的長(zhǎng)，--------------------------------------------（4分）
設(shè)∠HAD=α，則∠BAH=π-α，
在rt△AHD中，∵AH=

SA•AD

SD

=

2

5

，∴cosα=

AH

AD

=

2

5

，--------------------（6分）
在三角形BAH中，有余弦定理得：BH²=AB²+AH²-2AB•AHcos（π-α）
=1+

4

5

-2×

2

5

×(-

2

5

)=

17

5

，∴（
(PB+PH)min=

85

5

．------------------------------------------------------------（8分）
 （3）連結(jié)EH，∵AB=AD，SA=SA，∴Rt△SAB≌Rt△SAD，
∴SB=SD，-------------------------------------（9分）
又∵AE⊥SB，AH⊥SD，∴AE=AH，∴Rt△SEA≌Rt△SAH，
∴SE=SH，----------------------------------（10分）
∴

SE

SB

=

SH

SD

，∴EH∥BD，-----------------------（12分）
又∵EH?面AEKH，BD?面AEKH，∴BD∥面AEKH．-----------（13分）
∵平面AEKH∩平面ABCD=l，∴BD∥l-----------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面垂直的判定和性質(zhì)，空間距離的計(jì)算，線面平行，面面平行的判定及性質(zhì)綜合性較強(qiáng)，對(duì)語(yǔ)言組織能力要求較高．屬于中高檔題目