Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lg

1+2xa

2

（a∈R） 
（1）已知函數(shù)F（x）=2f（x）-f（2x）有兩個不同的零點，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在定義域x∈（-∞，1]上有意義，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)，將函數(shù)進行轉(zhuǎn)化，利用二次函數(shù)根的取值建立不等式組，解不等式組即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得到

1+2xa

2

＞0恒成立，利用參數(shù)分離法即可求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=lg

1+2xa

2

（a∈R）
∴F（x）=2f（x）-f（2x）=2lg

1+2xa

2

-lg

1+22xa

2

，
由F（x）=0得2lg

1+2xa

2

=lg

1+22xa

2

，
即（

1+2xa

2

）²=

1+22xa

2

，
∴

1+2a•2x+a2•22x

4

=

1+22xa

2

，
即（a²-2a）2^2x+2a?2^x-1=0，
設(shè)t=2^x，則t＞0，
則方程等價為（a²-2a）t²+2a?t-1=0，
∵函數(shù)F（x）=2f（x）-f（2x）有兩個不同的零點，
∴（a²-2a）t²+2a?t-1=0有兩個不同的正根，
則

△=4a2+4(a2-2a)＞0 - 1 a2-2a ＞0 -2a a2-2a ＞0

，
即

a2-a＞0 a2-2a＜0 a＞0

，
∴

a＞1或a＜0 0＜a＜2 a＞0

，即1＜a＜2，即a的取值范圍是（1，2）；
（2）若函數(shù)f（x）在定義域x∈（-∞，1]上有意義，
則當(dāng)x≤1時，

1+2xa

2

＞0恒成立，
即1+a•2^x＞0恒成立，
即a＞

-1

2x

，
∵x≤1，
∴-

1

2x

≤-

1

2

，
即a＞-

1

2

，
∴a的取值范圍是a＞-

1

2

．

點評：本題主要考查對數(shù)的基本運算，以及對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，綜合性較強，運算量較大，有一定的難度．