Question

對于函數(shù)f（x）=cos（

π

2

+x）sin（

3π

2

+x），給出下列四個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)f（x）的最小正周期為2π
②函數(shù)f（x）在[

π

6

，

π

2

]上的值域是[

3

4

，

1

2

]
③函數(shù)f（x）在[

π

4

，

3π

4

]上是減函數(shù)
④函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-

π

2

，0）對稱；
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：依題意，利用三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用可得f（x）=

1

2

sin2x，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可對①②③④逐個(gè)判斷，得到答案．

解答： 解：f（x）=cos（

π

2

+x）sin（

3π

2

+x=-sinx•（-cosx）=

1

2

sin2x，
∴T=

2π

2

=π≠2π，可排除①；
若x∈[

π

6

，

π

2

]，則2x∈[

π

3

，π]，sin2x∈[0，1]，故函數(shù)f（x）在[

π

6

，

π

2

]上的值域是[0，1]，可排除②；

當(dāng)x∈[

π

4

，

3π

4

]，2x∈[

π

2

，

3π

2

]，y=siz在[

π

2

，

3π

2

]上單調(diào)遞減，故函數(shù)f（x）在[

π

4

，

3π

4

]上是減函數(shù)，③正確；
當(dāng)x=-

π

2

時(shí)，f（x）=）=

1

2

sin（-π）=0，故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-

π

2

，0）對稱，即④正確；
綜上所述，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是2個(gè)，
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對稱性，定義域與值域，考查分析、運(yùn)算能力，屬于中檔題．