Question

（Ⅰ）求直線m：3x+4y=12與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的內(nèi)切圓C的方程；
（Ⅱ）若與（Ⅰ）中的圓C相切的直線l交x軸y軸于A（a，0）和B（0，b）兩點(diǎn)，且a＞2，b＞2．
①求證：圓C與直線l相切的條件為（a-2）（b-2）=2；
②求△OAB面積的最小值及此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）根據(jù)直線與圓相切的性質(zhì)解決即可．
（Ⅱ）①利用直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，運(yùn)算即可
②表示出三角形面積后，利用基本不等式和一元二次不等式的性質(zhì)解決．

解答： 解：（Ⅰ）直線m：3x+4y=12與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為A（4，0），B（0，3）．
則△AOB是直角三角形
∵圓心到坐標(biāo)的距離相等
∴可設(shè)圓心C（a，a），半徑為a，（0＜a＜3）
∴圓心到AB的距離為

|3a+4a-12|

32+42

=

|7a-12|

5

=a
解得：a=1
∴圓的方程為（x-1）²+（y-1）²=1．
（Ⅱ）①證明：∵直線l交x軸y軸于A（a，0）和B（0，b）兩點(diǎn)
∴直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1，
即bx+ay-ab=0
∵直線l與圓C相切，
∴

|b+a-ab|

a2+b2

=1
即ab-2a-2b+2=0
（a-2）（b-2）=2
②由①可知ab=2a+2b-2
∴S=

1

2

ab=a+b-1≥2

ab

-1
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2+

2

時(shí)取“=“
即S-2

S

+1≥0
解得S≥3+2

2

∴Smin=3+2

2

，
直線l方程為x+y-2-2

2

=0

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓相切的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，基本不等式的應(yīng)用，一元二次不等式的解法等綜合知識(shí)．屬于難題．