Question

根據(jù)下列已知條件求曲線方程．
（Ⅰ）求與雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1共漸近線且過(guò)A（2

3

，-3）點(diǎn)的雙曲線方程；
（Ⅱ）求與橢圓

x2

4

+

y2

3

=1有相同離心率且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，-

3

）的橢圓方程．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)與雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1共漸近線的雙曲線方程，代入A（2

3

，-3），即可求出雙曲線方程；
（Ⅱ）分類討論，設(shè)出橢圓方程，代入點(diǎn)（2，-

3

），即可求出橢圓方程．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)與雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1共漸近線的雙曲線方程為：

x2

16

-

y2

9

=λ(λ≠0)（2分）
∵點(diǎn)A（2

3

，-3）在雙曲線上，
∴λ=

12

16

-

9

9

=-

1

4

…（4分）
∴所求雙曲線方程為：

x2

16

-

y2

9

=-

1

4

，即

y2

9 4

-

x2

4

=1．…（5分）
（Ⅱ）若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=t（t＞0），將點(diǎn)（2，-

3

）代入，得t=2，
故所求方程為

x2

8

+

y2

6

=1．…（8分）
若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為

y2

4

+

x2

3

=λ（λ＞0）代入點(diǎn)（2，-

3

），得λ=

25

12

，
∴

y2

25 3

+

x2

25 4

=1．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線、橢圓的方程，考查待定系數(shù)法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確設(shè)出方程是關(guān)鍵．