Question

【題目】在平面直角坐標系xoy中，動點M到點F（1，0）的距離與它到直線x=2的距離之比為 ．
（1）求動點M的軌跡E的方程；
（2）設直線y=kx+m（m≠0）與曲線E交于A，B兩點，與x軸、y軸分別交于C，D兩點（且C，D在A，B之間或同時在A，B之外）．問：是否存在定值k，對于滿足條件的任意實數m，都有△OAC的面積與△OBD的面積相等，若存在，求k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設M（x，y），由題意可得 = ，

兩邊平方可得x2+y2﹣2x+1= （x2﹣4x+4），

即有 +y2=1，

可得軌跡E的方程為 +y2=1；

（2）解：聯立 ，消去y，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，

△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=8（2k2﹣m2+1），

由△＞0，可得m2＜1+2k2（*），

設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=﹣ ，

由題意可設C（﹣ ，0），D（0，m），

△OAC的面積與△OBD的面積相等|AC|=|BD|恒成立

線段AB的中點和線段CD中點重合．

即有﹣ =﹣ ，解得k=± ，

即存在定值k=± ，對于滿足條件的m≠0，且|m|＜

的任意實數m，都有△OAC的面積與△OBD的面積相等

【解析】（1）設M（x，y），運用兩點的距離公式和點到直線的距離公式，兩邊平方整理即可得到所求軌跡E的方程；（2）聯立直線方程和橢圓方程，消去y，可得x的方程，運用判別式大于0，以及韋達定理，求得C，D的坐標，由△OAC的面積與△OBD的面積相等|AC|=|BD|恒成立線段AB的中點和線段CD中點重合．運用中點坐標公式，解方程可得k的值，即可判斷存在．