Question

已知函數(shù)f（x）=kx+m，當(dāng)x∈[a₁，b₁]時，f（x）的值域為[a₂，b₂]，當(dāng)x∈[a₂，b₂]時，f（x）的值域為[a₃，b₃]，依此類推，一般地，當(dāng)x∈[a_n-1，b_n-1]時，f（x）的值域為[a_n，b_n]，其中k、m為常數(shù)，且a₁=0，b₁=1．
（Ⅰ）若k=1，求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若k＞0且k≠1，問是否存在常數(shù)m，使數(shù)列{b_n}是公比不為1的等比數(shù)列？請說明理由；
（Ⅲ）或k＜0，設(shè)數(shù)列{a_n}，{b_n}的前n項和分別為S_n，T_n，求（T₁+T₂+…+T₂₀₁₂）-（S₁+S₂+…+S₂₀₁₂）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）n=1時，兩個數(shù)列均為公差為m的等差數(shù)列，直接由等差數(shù)列的通項公式得答案；
（Ⅱ）由x∈[a_n-1，b_n-1]時，f（x）的值域為[a_n，b_n]，得b_n=kb_n-1+m，兩邊同時除以b_n-1，由商為常數(shù)求得m的值；
（Ⅲ）k＜0，函數(shù)f（x）=kx+m為減函數(shù)，由x∈[a_n-1，b_n-1]時，f（x）的值域為[a_n，b_n]，得b_n=ka_n-1+m，a_n=kb_n-1+m，兩式作差后分k=-1和k≠-1分類求解（T₁+T₂+…+T₂₀₁₂）-（S₁+S₂+…+S₂₀₁₂）的值．

解答： 解：（Ⅰ）k=1時函數(shù)?（x）=kx+m為增函數(shù)，∴a_n=a_n-1+m，b_n=b_n-1+m，
則a_n-a_n-1=m，b_n-b_n-1=m，
數(shù)列{a_n}，{b_n}均為以m為公差的等差數(shù)列．
∴a_n=a₁+（n-1）m=（n-1）m，b_n=b₁+（n-1）m=（n-1）m+1；
（Ⅱ）∵x∈[a_n-1，b_n-1]時，f（x）的值域為[a_n，b_n]，∴b_n=kb_n-1+m，
∴

bn

bn-1

=k+

m

bn-1

，要使k+

m

bn-1

為常數(shù)，則必有m=0，
故當(dāng)m=0時，{b_n}是公比為k的等比數(shù)列；
（Ⅲ）b_n=ka_n-1+m①
a_n=kb_n-1+m②
①-②得b_n-a_n=-k（b_n-1-a_n-1）
若k=-1，則b_n-a_n=b_n-1-a_n-1=…=b₁-a₁=1
可得T_n-S_n=n
（T₁+T₂+…+T₂₀₁₂）-（S₁+S₂+…+S₂₀₁₂）=1+2+…+2012=2025078；
若k≠-1，則b_n-a_n=（-k）^n-1
T_n-S_n=

1-(-k)n

1+k

=

1

1+k

-

(-k)n

1+k

，
∴（T₁+T₂+…+T₂₀₁₂）-（S₁+S₂+…+S₂₀₁₂）
=

2012

1+k

-(

-k

1+k

+

(-k)2

1+k

+…+

(-k)2012

1+k

)
=

2012

1+k

-

k2013-k

(1+k)2

．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了等比數(shù)列的求和方法，是中檔題．