Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分圖象如圖所示
（1）求函數(shù)f（x）的解析式并寫(xiě)出其對(duì)稱(chēng)中心；
（2）若g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于直線x=4對(duì)稱(chēng)，當(dāng)x∈[2，8]，求g（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,余弦函數(shù)的圖象

專(zhuān)題：計(jì)算題,綜合題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由圖知，A=

2

，

1

2

T=8，從而可求得ω，又函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，0），于是可求得φ，繼而可得函數(shù)f（x）的解析式，利用其對(duì)稱(chēng)性可寫(xiě)出其對(duì)稱(chēng)中心；
（2）設(shè)g（x）的圖象上任意點(diǎn)（x，g（x）），依題意，g（x）=f（8-x）=

2

sin（

5π

4

-

π

8

x），x∈[2，8]⇒

π

4

≤

5π

4

-

π

8

x≤π，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，可求得
y=g（x）的值域，從而可得其最值．

解答： 解：（1）由圖知，A=

2

，

1

2

T=6-（-2）=8，
∴T=

2π

ω

=16，
解得：ω=

π

8

；
又函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，0），
∴-2×

π

8

+φ=2kπ（k∈Z），
∴φ=2kπ+

π

4

（k∈Z），又|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

4

，
∴f（x）=

2

sin（

π

8

x+

π

4

）；
由

π

8

x+

π

4

=kπ（k∈Z）得：x=8k-2（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)中心為（8k-2，0）（k∈Z）；
（2）設(shè)g（x）的圖象上任意點(diǎn)（x，g（x）），
它關(guān)于直線x=4的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（8-x，g（x））在y=f（x）的圖象上，
∴g（x）=f（8-x）=

2

sin[

π

8

（8-x）+

π

4

]=

2

sin（

5π

4

-

π

8

x），
∵x∈[2，8]，
∴

π

4

≤

π

8

x≤π，-π≤-

π

8

x≤-

π

4

，

π

4

≤

5π

4

-

π

8

x≤π，
∴sin[

π

8

（8-x）+

π

4

]∈[0，1]，
∴

2

sin[

π

8

（8-x）+

π

4

]∈[0，

2

]，即g（x）∈[0，

2

]，
∴g（x）_max=

2

，g（x）_min=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，突出考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．