Question

已知函數(shù)f（x）=2cosxcos（

3π

2

+x）+

3

（2cos²x-1）
（1）求f（x）的最大值；
（2）若

π

12

＜x＜

π

3

，且f（x）=

1

2

，求cos2x的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式化簡，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大值．
（2）根據(jù)x的范圍確定2x+

π

3

的范圍，進而根據(jù)f（x）的解析式求得sin（2x+

π

3

）的值，進而取得cos（2x+

π

3

）的值，最后利用cos2x=cos（2x+

π

3

-

π

3

）求得答案．

解答： 解：f(x)=2cosxcos(

3π

2

+x)+

3

(2cos2x-1)=2cosxsinx+

3

cos2x=sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

)
（1）因為x∈R，∴最大值為2；
（2）因為

π

12

＜x＜

π

3

，
故2x+

π

3

∈(

π

2

，π)
由f(x)=

1

2

得sin(2x+

π

3

)=

1

4

，
則cos(2x+

π

3

)=-

1-sin2(2x+ π 3 )

=-

15

4

∴cos2x=cos（2x+

π

3

-

π

3

）=cos（2x+

π

3

）cos

π

3

+sin（2x+

π

3

）sin

π

3

=-

15

4

×

1

2

+

1

4

×

3

2

=

3 - 15

8

點評：本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)，二倍角公式的應(yīng)用以及三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．考查了學(xué)生的分析和推理能力．