Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1過點A（1，

3

2

），離心率為

1

2

，左右焦點分別為F₁、F₂．過點F₁的直線l交橢圓于A、B兩點．
（1）求橢圓C的方程．
（2）如果直線l的傾斜角為

3π

4

時，求△F₂AB的面積．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出

1

a2

+

9

4b2

=1，

c

a

=

1

2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由已知條件推導(dǎo)出l的方程x+y+1=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由

x2 4 + y2 3 =1 x+y+1=0

，得7x²+8x-8=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出△F₂AB的面積．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1過點A(1，

3

2

)，
∴

1

a2

+

9

4b2

=1…（1分），
∵離心率為

1

2

，∴

c

a

=

1

2

…②…（2分）
又∵a²=b²+c²（3分）
解①②③得a²=4，b²=3…（4分）
∴橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1…（6分）
（2）∵l經(jīng)過點F₁（-1，0），為傾斜角為

3π

4

，
∴l(xiāng)的方程為y-0=tan

3π

4

×(x+1)，即x+y+1=0…（8分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

x2 4 + y2 3 =1 x+y+1=0

，消去y得：7x²+8x-8=0，
由韋達(dá)定理得x1+x2=-

8

7

，x1x2=-

8

7

…（10分）
∴S△F2AB=S△F1F2B+S△F1F2A=

1

2

|F1F2|(|y1|+|y2|)
=

1

2

×2|y1-y2|=|-(x1+1)-[-(x2+1)]|
=

|x1-x2|2

=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(- 8 7 )2-4×(- 8 7 )

=

12 2

7

．…（13分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形的面積的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理的合理運用．