Question

已知圓（x-a）²+（y+1-r）²=r²（r＞0）過點F（0，1），圓心M的軌跡為C．
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）設P為直線l：x-y-2=0上的點，過點P做曲線C的兩條切線PA、PB，當點P（x₀，y₀）為直線l上的定點時，求直線AB的方程；
（Ⅲ）當點P在直線l上移動時，求|AF|•|BF|的最小值．

Answer 1

考點：圓與圓錐曲線的綜合

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）先求出a，r的關系，再求出圓心坐標，消去參數，可得軌跡C的方程；
（Ⅱ）求出切線PA，PB的方程，利用切線PA，PB均過P（x₀，y₀），可得A，B的坐標是方程x₀x-2y-2y₀=0的兩組解，從而客氣直線AB的方程；
（Ⅲ）由拋物線定義可知|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1，表示出|AF|•|BF|，利用配方法可求|AF|•|BF|的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）設C（x，y），則
∵圓（x-a）²+（y+1-r）²=r²（r＞0）過點F（0，1），
∴（0-a）²+（1+1-r）²=r²，
∴a=2

r-1

∵x=a，y=r-1，
∴x=2

r-1

，y=r-1，
∴x²=4y；
（Ⅱ）拋物線方程可化為y=

1

4

x2，求導得y′=

1

2

x．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則切線PA，PB的斜率分別為

1

2

x1，

1

2

x2，
∴PA的方程為y-y1=

x1

2

(x-x1)，即x₁x-2y-2y₁=0．
同理PB的方程為x₂x-2y-2y₂=0，
∵切線PA，PB均過P（x₀，y₀），
∴x₁x₀-2y₀-2y₁=0，x₂x₀-2y₀-2y₂=0
∴（x₁，y₁），（x₂，y₂）為方程x₀x-2y-2y₀=0的兩組解，
∴直線AB的方程為x₀x-2y-2y₀=0；
（Ⅲ）由拋物線定義可知|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1，
∴|AF|•|BF|=（y₁+1）（y₂+1）=y₁y₂+（y₁+y₂）+1
∵y1+y2=x02-2y0，y1y2=y02，
∴|AF|•|BF|=y02+x02-2y0+1．
∵點P在直線l上，
∴x₀=y₀+2，
∴|AF|•|BF|=y02+x02-2y0+1=2y02+2y0+5=2(y0+

1

2

)2+

9

2

，
∴當y0=-

1

2

時，|AF|•|BF|取得最小值，最小值為

9

2

．

點評：本題考查軌跡方程，考查拋物線的切線方程，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于難題．