Question

17．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），F(xiàn)₁、F₂是其左右焦點，其橢圓的長軸長等于短軸長的2倍，且經過點（2，1）．
（1）求橢圓的方程；
（2）P是橢圓上一點，且∠F₁PF₂=90°，求P點的坐標．

Answer 1

分析 （1）由題意可設橢圓方程為x²+4y²-4b²=0，代入點的坐標求得b，則橢圓方程可求；
（2）設出P的橫坐標，利用橢圓焦半徑公式可得|PF₁|=$2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{0}$，|PF₂|=$2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{0}$，由勾股定理求出P的橫坐標，代入橢圓方程可得P的坐標．

解答 解：（1）由題意可知a=2b，則橢圓方程為x²+4y²-4b²=0，
把（2，1）代入可得：2²+4×1²-4b²=0，即b²=2．
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，得a²=8，b²=2，
∴c²=a²-b²=6，則a=$2\sqrt{2}$，c=$\sqrt{6}$，$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
設P的橫坐標為x₀，則|PF₁|=$2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{0}$，|PF₂|=$2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{0}$，
∵∠F₁PF₂=90°，
∴$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}=4{c}^{2}$，即$（2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{0}）^{2}+（2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{0}）^{2}=4×6$，
解得${{x}_{0}}^{2}=\frac{16}{3}$，${x}_{0}=±\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
代入$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，可得y=$±\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴P點的坐標為P（$\frac{4\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{6}}{3}$）、P（$\frac{4\sqrt{3}}{3}，-\frac{\sqrt{6}}{3}$）、P（$-\frac{4\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{6}}{3}$）、P（$-\frac{4\sqrt{3}}{3}，-\frac{\sqrt{6}}{3}$）．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了焦半徑公式的應用，考查計算能力，是中檔題．