Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC=

1

2

DC，點E在棱PB上，且

PE

=λ

EB

．
（1）當λ=2時，求證：PD∥面EAC；
（2）若直線PA與平面EAC所成角為30°，求實數(shù)λ的值．

Answer 1

考點：用空間向量求直線與平面的夾角,直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關系與距離,空間向量及應用

分析：（1）由已知條件，推導出EM∥PD，利用直線與平面平行的判定定理能證明PD∥面EAC．
（2）以A為坐標原點，分別以AB，AP為y軸，Z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出實數(shù)λ的值．

解答： （本小題滿分為10分）
（1）證明：連接BD交AC于點M，連結(jié)ME，
∵AB∥DC，∴

|MB|

|MD|

=

|AB|

|CD|

=

1

2

，
當λ=2時

|BE|

|EP|

=

1

2

，
∴

|MB|

|MD|

=

|BE|

|EP|

，∴EM∥PD．
∵PD不包含于平面EAC，EM?平面EAC
∴PD∥面EAC．…（4分）
（2）由已知可以A為坐標原點，分別以AB，AP為y軸，Z軸建立空間直角坐標系，
設DC=2，則A（0，0，0），C（1，1，0），B（0，1，0），P（0，0，1），
由

PE

=λ

EB

，得E點的坐標為(0，

λ

1+λ

，

1

1+λ

)…（6分）
所以

AC

=(1，1，0)，

AE

=(0，

λ

1+λ

，

1

1+λ

)．
設平面EAC的一個法向量為

n

=(x，y，z)，
則

x+y=0 λ 1+λ y+ 1 1+λ z=0

，
設z=λ，則y=-1，x=1，所以

n

=(1，-1，λ)…（8分）
若直線PA與平面EAC所成角為30°，
則cos60°=

λ

2+λ2

，…（9分）
解得λ=

6

3

…（10分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的應用，解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想和向量法的合理運用．