Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$，g（x）=e^x+m，其中e=2.718…．
（1）求f（x）在x=1處的切線方程；
（2）當(dāng)m≥-2時(shí)，證明：f（x）＜g（x）．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，可得切線的方程；
（2）討論0＜x≤1，由f（x）≤0，g（x）＞0，顯然成立；x＞1時(shí)，求得f（x）的最大值和g（x）的最小值，即可判斷．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
則f（x）在x=1處的切線斜率為1，切點(diǎn)為（1，0），
則f（x）在x=1處的切線方程為y=x-1；
（2）由函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）＜0，g（x）=e^x+m＞0，f（x）＜g（x）成立；
當(dāng)1＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；當(dāng)x＞e時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x=e處取得極大值，且為最大值$\frac{1}{e}$；
而x＞1，m≥-2時(shí)，g（x）=e^x+m＞$\frac{1}{e}$，即有f（x）＜g（x）．
綜上可得，當(dāng)m≥-2時(shí)，f（x）＜g（x）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查不等式恒成立問題的解法，注意轉(zhuǎn)化為求最值，同時(shí)考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．