Question

設(shè)數(shù)列{a_n}：1，-2，-2，3，3，3，-4，-4，-4，-4，…，

k個

(-1)k-1k，…，(-1)k-1k

，即當(dāng)

(k-1)k

2

＜n≤

k(k+1)

2

（k∈N⁺）時，a_n=（-1）^k-1k，記S_n=a₁+a₂…+a_n（n∈N⁺），對于l∈N⁺，定義集合P_l={n|S_n是a_n的整數(shù)倍，n∈N⁺，且1≤n≤1}
（1）求集合P₁₁中元素的個數(shù)；  
（2）求集合P₂₀₀₀中元素的個數(shù)．

Answer 1

考點：數(shù)列的應(yīng)用,集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用

專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）先確定數(shù)列的前幾項，可得前11項和，利用定義，即可求集合P₁₁中元素的個數(shù)；  
（2）先證S_i（2i+1）=-i（2i+1），可得當(dāng)l=i（2i+1）+j（1≤j≤2i+1）時，集合P_l中元素的個數(shù)為i²+j，即可求集合P₂₀₀₀中元素的個數(shù)．

解答： （1）解：由數(shù)列{a_n}的定義得：a₁=1，a₂=-2，a₃=-2，a₄=3，a₅=3，a₆=3，a₇=-4，a₈=-4，a₉=-4，a₁₀=-4，a₁₁=5
∴S₁=1，S₂=-1，S₃=-3，S₄=0，S₅=3，S₆=6，S₇=2，S₈=-2，S₉=-6，S₁₀=-10，S₁₁=-5
∴S₁=1•a₁，S₄=0•a₄，S₅=1•a₅，S₆=2•a₆，S₁₁=-1•a₁₁
∴集合P₁₁中元素的個數(shù)為5；
（2）證明：用數(shù)學(xué)歸納法先證S_i（2i+1）=-i（2i+1）
事實上，
①當(dāng)i=1時，S_i（2i+1）=S₃=-1•（2+1）=-3故原式成立
②假設(shè)當(dāng)i=m時，等式成立，即S_m（2m+1）=-m•（2m+1）故原式成立
則：i=m+1，時，S(m+1)[2(m+1)+1}=S(m+1)(2m+3}=Sm(2m+1)+(2m+1)2-(2m+2)2=-m(2m+1)+(2m+1)2-(2m+2)2=-（2m²+5m+3）=-（m+1）（2m+3）
綜合①②得：S_i（2i+1）=-i（2i+1）于是S(i+1)[2i+1}=Si(2i+1}+(2i+1)2=-i(2i+1)+(2i+1)2=(2i+1)(i+1)
由上可知：S_i（2i+1}是（2i+1）的倍數(shù)
而a_{（i+1）（2i+1}+j}=2i+1（j=1，2，…，2i+1），所以S_{i（2i+1）+j}=S_i（2i+1）+j（2i+1）是a_{（i+1）（2i+1}+j}（j=1，2，…，2i+1）的倍數(shù)
又S_{（i+1）[2i+1}}=（i+1）（2i+1）不是2i+2的倍數(shù)，
而a_{（i+1）（2i+1}+j}=-（2i+2）（j=1，2，…，2i+2）
所以S_{（i+1）（2i+1）+j}=S_{（i+1）（2i+1）}-j（2i+2）=（2i+1）（i+1）-j（2i+2）不是a_{（i+1）（2i+1}+j}（j=1，2，…，2i+2）的倍數(shù)
故當(dāng)l=i（2i+1）時，集合P_l中元素的個數(shù)為1+3+…+（2i-1）=i²
于是當(dāng)l=i（2i+1）+j（1≤j≤2i+1）時，集合P_l中元素的個數(shù)為i²+j
又2000=31×（2×31+1）+47
故集合P₂₀₀₀中元素的個數(shù)為31²+47=1008．

點評：本題主要考查集合、數(shù)列的概念與運算、計數(shù)原理等基礎(chǔ)知識，考查探究能力及運用數(shù)學(xué)歸納法分析解決問題能力及推理論證能力．